1、根号5是无理数。

2、常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，

3、无理数的特征是无限的连分数表达式，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

4、设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

5、两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

6、p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

7、这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

8、根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，所以，根号下5不是有理数而是无理数。